最近工作中遇到不少涉及数据“预测”的需求，这个“预测”并不一定是预估未来某个指标的发展趋势，也可能是基于某些已知的数据去建立计算模型，计算某些量变化后的结果。
其实这些事情都涉及一个工作，就是预测模型的建立。
对于数据趋势预测和数据模型预测的建模方式当然不一样，因为它们的目标和基础并不一样。

对于数据趋势预测，信息论有一个基础理论，新数据的参考价值大于旧的数据，所以对待趋势趋势，考虑过多的陈旧数据反而会导致预测的精度大大下降，正确的做法应该是仅考虑最近的数据，或者大大弱化旧数据的影响权值。
如果只有最新的一部分数据，如何去拟合？一般情况下数据趋势都是一个冲击扰动系统，很少的几个数据根本无法靠多项式去拟合，但是引入遗传算法迭代复杂表达式其实效果并不怎么样，但是算法复杂度就高了。
很简单的办法就是叠加数据，让参与计算的数据成为单调的，最简单的叠加算子就是，Y[X[1]]=Y[X[1]], Y[X[2]]=Y[X[1]]+Y[X[2]]，以此类推，Y[X[i]]=Y[X[1]]+…+Y[X[i]]。
获得新的Y序列再放入坐标系，然后进行拟合，这样多项式足以获得非常好的拟合度，因为处理后的曲线一定是单调的，同时没有任何数据丢失。
拟合到曲线后，计算下一个点只要用下一个点的X代入，就可以算出Y，然后Y减去前面所有的Y之和，就可以得到自己真实的值，这样的预测结果将会有很好的精确度。

再说说数据模型预测，这已经不是一个信息论问题，而是一个统计问题，对离散的统计数据建模，以计算未被统计到的数据。这种情况下，每个统计值都具有等同的价值。这时候就需要考虑全部已知数据来修正模型，面对这种场景最好的办法就是遗传算法，迭代表达式来获得更好的拟合度。关于遗传算法，我又一篇博文《遗传算法聚类程序》，给出了一个遗传算法的例子。对于拟合的遗传算法模型，就是首先预置一些基础表达式，都假设为拟合结果，算一下拟合相似度，选出最匹配的表达式做一个“杂交”，就是将其中的变量替换成另一个表达式，这样再算，选出最优的几个，继续交换，最终就会慢慢逼近结果，达到满意的拟合度后，就可以停止。如果能预置一些曲线库，那就更好了。
具体怎么做呢？首先需要采集到一个矩阵，
A[1,1] A[1,2] … A[1,n] T[1]
A[2,1] A[2,2] … A[2,n] T[2]
…
A[m,1] A[m,2] … A[m,n] T[m]

A[i,j]是第i个数据中第j个变量的值，T[i]是这组数据的目标结果。
然后我们就可以建模F(A[1],A[2], … , A[n])=T，将所有的数据代入就可以得到一个多维映射，然后的工作就是解出这个映射的表达式。这个过程有一些现成的软件，例如Matlab之类的。

随机显示文章

• 2009年03月14日 -- UML之父——Ivar Jacobson介紹SMART方法 (0)
• 2009年04月4日 -- 看Flash Point很有感触 (0)
• 2009年05月27日 -- 灰色系统在经济和行政决策方面的若干简单应用 (4)

为什么要深入数学的世界

作为计算机的学生，我没有任何企图要成为一个数学家。我学习数学的目的，是要 想爬上巨人的肩膀，希望站在更高的高度，能把我自己研究的东西看得更深广一些。说起来，我在刚来这个学校的时候，并没有预料到我将会有一个深入数学的旅 程。我的导师最初希望我去做的题目，是对appearance和motion建立一个unified的model。这个题目在当今Computer Vision中百花齐放的世界中并没有任何特别的地方。事实上，使用各种Graphical Model把各种东西联合在一起framework，在近年的论文中并不少见。

我不否认现在广泛流行的Graphical Model是对复杂现象建模的有力工具，但是，我认为它不是panacea，并不能取代对于所研究的问题的深入的钻研。如果统计学习包治百病，那么很多 “下游”的学科也就没有存在的必要了。事实上，开始的时候，我也是和Vision中很多人一样，想着去做一个Graphical Model——我的导师指出，这样的做法只是重复一些标准的流程，并没有很大的价值。经过很长时间的反复，另外一个路径慢慢被确立下来——我们相信，一个 图像是通过大量“原子”的某种空间分布构成的，原子群的运动形成了动态的可视过程。微观意义下的单个原子运动，和宏观意义下的整体分布的变换存在着深刻的 联系——这需要我们去发掘。

在深入探索这个题目的过程中，遇到了很多很多的问题，如何描述一个一般的运动过程，如何建立一个稳定并且广泛适用的原子表达，如何刻画微观运动和宏观分布变换的联系，还有很多。在这个过程中，我发现了两个事情：

• 我原有的数学基础已经远远不能适应我对这些问题的深入研究。
• 在数学中，有很多思想和工具，是非常适合解决这些问题的，只是没有被很多的应用科学的研究者重视。

于是，我决心开始深入数学这个浩瀚大海，希望在我再次走出来的时候，我已经有了更强大的武器去面对这些问题的挑战。

我的游历并没有结束，我的视野相比于这个博大精深的世界的依旧显得非常狭窄。在这里，我只是说说，在我的眼中，数学如何一步步从初级向高级发展，更高级别的数学对于具体应用究竟有何好处。

集合论：现代数学的共同基础

现代数学有数不清的分支，但是，它们都有一个共同的基础——集合论——因为 它，数学这个庞大的家族有个共同的语言。集合论中有一些最基本的概念：集合(set)，关系(relation)，函数(function)，等价 (equivalence)，是在其它数学分支的语言中几乎必然存在的。对于这些简单概念的理解，是进一步学些别的数学的基础。我相信，理工科大学生对于 这些都不会陌生。

不过，有一个很重要的东西就不见得那么家喻户晓了——那就是“选择公理” (Axiom of Choice)。这个公理的意思是“任意的一群非空集合，一定可以从每个集合中各拿出一个元素。”——似乎是显然得不能再显然的命题。不过，这个貌似平常 的公理却能演绎出一些比较奇怪的结论，比如巴拿赫-塔斯基分球定理——“一个球，能分成五个部分，对它们进行一系列刚性变换（平移旋转）后，能组合成两个一样大小的球”。正因为这些完全有悖常识的结论，导致数学界曾经在相当长时间里对于是否接受它有着激烈争论。现在，主流数学家对于它应该是基本接受的，因为很多数学分支的重要定理都依赖于它。在我们后面要回说到的学科里面，下面的定理依赖于选择公理：

1. 拓扑学：Baire Category Theorem
2. 实分析（测度理论）：Lebesgue 不可测集的存在性
3. 泛函分析四个主要定理：Hahn-Banach Extension Theorem, Banach-Steinhaus Theorem (Uniform boundedness principle), Open Mapping Theorem, Closed Graph Theorem

在集合论的基础上，现代数学有两大家族：分析(Analysis)和代数(Algebra)。至于其它的，比如几何和概率论，在古典数学时代，它们是和代数并列的，但是它们的现代版本则基本是建立在分析或者代数的基础上，因此从现代意义说，它们和分析与代数并不是平行的关系。

分析：在极限基础上建立的宏伟大厦

微积分：分析的古典时代——从牛顿到柯西

先说说分析(Analysis)吧，它是从微积分(Caculus)发展起来 的——这也是有些微积分教材名字叫“数学分析”的原因。不过，分析的范畴远不只是这些，我们在大学一年级学习的微积分只能算是对古典分析的入门。分析研究 的对象很多，包括导数(derivatives)，积分(integral)，微分方程(differential equation)，还有级数(infinite series)——这些基本的概念，在初等的微积分里面都有介绍。如果说有一个思想贯穿其中，那就是极限——这是整个分析（不仅仅是微积分）的灵魂。

一个很多人都听说过的故事，就是牛顿(Newton)和莱布尼茨 (Leibniz)关于微积分发明权的争论。事实上，在他们的时代，很多微积分的工具开始运用在科学和工程之中，但是，微积分的基础并没有真正建立。那个 长时间一直解释不清楚的“无穷小量”的幽灵，困扰了数学界一百多年的时间——这就是“第二次数学危机”。直到柯西用数列极限的观点重新建立了微积分的基本 概念，这门学科才开始有了一个比较坚实的基础。直到今天，整个分析的大厦还是建立在极限的基石之上。

柯西(Cauchy)为分析的发展提供了一种严密的语言，但是他并没有解决微 积分的全部问题。在19世纪的时候，分析的世界仍然有着一些挥之不去的乌云。而其中最重要的一个没有解决的是“函数是否可积的问题”。我们在现在的微积分 课本中学到的那种通过“无限分割区间，取矩阵面积和的极限”的积分，是大约在1850年由黎曼(Riemann)提出的，叫做黎曼积分。但是，什么函数存 在黎曼积分呢（黎曼可积）？数学家们很早就证明了，定义在闭区间内的连续函数是黎曼可积的。可是，这样的结果并不令人满意，工程师们需要对分段连续函数的 函数积分。

实分析：在实数理论和测度理论上建立起现代分析

在19世纪中后期，不连续函数的可积性问题一直是分析的重要课题。对于定义在 闭区间上的黎曼积分的研究发现，可积性的关键在于“不连续的点足够少”。只有有限处不连续的函数是可积的，可是很多有数学家们构造出很多在无限处不连续的 可积函数。显然，在衡量点集大小的时候，有限和无限并不是一种合适的标准。在探讨“点集大小”这个问题的过程中，数学家发现实数轴——这个他们曾经以为已 经充分理解的东西——有着许多他们没有想到的特性。在极限思想的支持下，实数理论在这个时候被建立起来，它的标志是对实数完备性进行刻画的几条等价的定理 （确界定理，区间套定理，柯西收敛定理，Bolzano-Weierstrass Theorem和Heine-Borel Theorem等等）——这些定理明确表达出实数和有理数的根本区别：完备性（很不严格的说，就是对极限运算封闭）。随着对实数认识的深入，如何测量“点 集大小”的问题也取得了突破，勒贝格创造性地把关于集合的代数，和Outer content（就是“外测度”的一个雏形）的概念结合起来，建立了测度理论(Measure Theory)，并且进一步建立了以测度为基础的积分——勒贝格(Lebesgue Integral)。在这个新的积分概念的支持下，可积性问题变得一目了然。

上面说到的实数理论，测度理论和勒贝格积分，构成了我们现在称为实分析 (Real Analysis)的数学分支，有些书也叫实变函数论。对于应用科学来说，实分析似乎没有古典微积分那么“实用”——很难直接基于它得到什么算法。而且， 它要解决的某些“难题”——比如处处不连续的函数，或者处处连续而处处不可微的函数——在工程师的眼中，并不现实。但是，我认为，它并不是一种纯数学概念 游戏，它的现实意义在于为许多现代的应用数学分支提供坚实的基础。下面，我仅仅列举几条它的用处：

1. 黎曼可积的函数空间不是完备的，但是勒贝格可积的函数空间是完备的。简单的 说，一个黎曼可积的函数列收敛到的那个函数不一定是黎曼可积的，但是勒贝格可积的函数列必定收敛到一个勒贝格可积的函数。在泛函分析，还有逼近理论中，经 常需要讨论“函数的极限”，或者“函数的级数”，如果用黎曼积分的概念，这种讨论几乎不可想像。我们有时看一些paper中提到Lp函数空间，就是基于勒 贝格积分。
2. 勒贝格积分是傅立叶变换（这东西在工程中到处都是）的基础。很多关于信号处理的初等教材，可能绕过了勒贝格积分，直接讲点面对实用的东西而不谈它的数学基础，但是，对于深层次的研究问题——特别是希望在理论中能做一些工作——这并不是总能绕过去。
3. 在下面，我们还会看到，测度理论是现代概率论的基础。

拓扑学：分析从实数轴推广到一般空间——现代分析的抽象基础

随着实数理论的建立，大家开始把极限和连续推广到更一般的地方的分析。事实 上，很多基于实数的概念和定理并不是实数特有的。很多特性可以抽象出来，推广到更一般的空间里面。对于实数轴的推广，促成了点集拓扑学(Point- set Topology)的建立。很多原来只存在于实数中的概念，被提取出来，进行一般性的讨论。在拓扑学里面，有4个C构成了它的核心：

1. Closed set（闭集合）。在现代的拓扑学的公理化体系中，开集和闭集是最基本的概念。一切从此引申。这两个概念是开区间和闭区间的推广，它们的根本地位，并不是 一开始就被认识到的。经过相当长的时间，人们才认识到：开集的概念是连续性的基础，而闭集对极限运算封闭——而极限正是分析的根基。
2. Continuous function （连续函数）。连续函数在微积分里面有个用epsilon-delta语言给出的定义，在拓扑学中它的定义是“开集的原像是开集的函数”。第二个定义和第 一个是等价的，只是用更抽象的语言进行了改写。我个人认为，它的第三个（等价）定义才从根本上揭示连续函数的本质——“连续函数是保持极限运算的函数” ——比如y是数列x1, x2, x3, … 的极限， 那么如果 f 是连续函数，那么 f(y) 就是 f(x1), f(x2), f(x3), …的极限。连续函数的重要性，可以从别的分支学科中进行类比。比如群论中，基础的运算是“乘法”，对于群，最重要的映射叫“同态映射”——保持“乘法”的 映射。在分析中，基础运算是“极限”，因此连续函数在分析中的地位，和同态映射在代数中的地位是相当的。
3. Connected set （连通集合）。比它略为窄一点的概念叫(Path connected)，就是集合中任意两点都存在连续路径相连——可能是一般人理解的概念。一般意义下的连通概念稍微抽象一些。在我看来，连通性有两个重 要的用场：一个是用于证明一般的中值定理(Intermediate Value Theorem)，还有就是代数拓扑，拓扑群论和李群论中讨论根本群(Fundamental Group)的阶。
4. Compact set（紧集）。Compactness似乎在初等微积分里面没有专门出现，不过有几条实数上的定理和它其实是有关系的。比如，“有界数列必然存在收敛子 列”——用compactness的语言来说就是——“实数空间中有界闭集是紧的”。它在拓扑学中的一般定义是一个听上去比较抽象的东西——“紧集的任意 开覆盖存在有限子覆盖”。这个定义在讨论拓扑学的定理时很方便，它在很多时候能帮助实现从无限到有限的转换。对于分析来说，用得更多的是它的另一种形式 ——“紧集中的数列必存在收敛子列”——它体现了分析中最重要的“极限”。Compactness在现代分析中运用极广，无法尽述。微积分中的两个重要定 理：极值定理(Extreme Value Theory)，和一致收敛定理(Uniform Convergence Theorem)就可以借助它推广到一般的形式。

从某种意义上说，点集拓扑学可以看成是关于“极限”的一般理论，它抽象于实数理论，它的概念成为几乎所有现代分析学科的通用语言，也是整个现代分析的根基所在。

微分几何：流形上的分析——在拓扑空间上引入微分结构

拓扑学把极限的概念推广到一般的拓扑空间，但这不是故事的结束，而仅仅是开 始。在微积分里面，极限之后我们有微分，求导，积分。这些东西也可以推广到拓扑空间，在拓扑学的基础上建立起来——这就是微分几何。从教学上说，微分几何 的教材，有两种不同的类型，一种是建立在古典微机分的基础上的“古典微分几何”，主要是关于二维和三维空间中的一些几何量的计算，比如曲率。还有一种是建 立在现代拓扑学的基础上，这里姑且称为“现代微分几何”——它的核心概念就是“流形”(manifold)——就是在拓扑空间的基础上加了一套可以进行微 分运算的结构。现代微分几何是一门非常丰富的学科。比如一般流形上的微分的定义就比传统的微分丰富，我自己就见过三种从不同角度给出的等价定义——这一方 面让事情变得复杂一些，但是另外一个方面它给了同一个概念的不同理解，往往在解决问题时会引出不同的思路。除了推广微积分的概念以外，还引入了很多新概 念：tangent space, cotangent space, push forward, pull back, fibre bundle, flow, immersion, submersion 等等。

近些年，流形在machine learning似乎相当时髦。但是，坦率地说，要弄懂一些基本的流形算法， 甚至“创造”一些流形算法，并不需要多少微分几何的基础。对我的研究来说，微分几何最重要的应用就是建立在它之上的另外一个分支：李群和李代数——这是数 学中两大家族分析和代数的一个漂亮的联姻。分析和代数的另外一处重要的结合则是泛函分析，以及在其基础上的调和分析。

代数：一个抽象的世界

关于抽象代数

回过头来，再说说另一个大家族——代数。

如果说古典微积分是分析的入门，那么现代代数的入门点则是两个部分：线性代数(linear algebra)和基础的抽象代数(abstract algebra)——据说国内一些教材称之为近世代数。

代数——名称上研究的似乎是数，在我看来，主要研究的是运算规则。一门代数， 其实都是从某种具体的运算体系中抽象出一些基本规则，建立一个公理体系，然后在这基础上进行研究。一个集合再加上一套运算规则，就构成一个代数结构。在主 要的代数结构中，最简单的是群(Group)——它只有一种符合结合率的可逆运算，通常叫“乘法”。如果，这种运算也符合交换率，那么就叫阿贝尔群 (Abelian Group)。如果有两种运算，一种叫加法，满足交换率和结合率，一种叫乘法，满足结合率，它们之间满足分配率，这种丰富一点的结构叫做环(Ring)， 如果环上的乘法满足交换率，就叫可交换环(Commutative Ring)。如果，一个环的加法和乘法具有了所有的良好性质，那么就成为一个域(Field)。基于域，我们可以建立一种新的结构，能进行加法和数乘，就 构成了线性代数(Linear algebra)。

代数的好处在于，它只关心运算规则的演绎，而不管参与运算的对象。只要定义恰 当，完全可以让一只猫乘一只狗得到一头猪:-)。基于抽象运算规则得到的所有定理完全可以运用于上面说的猫狗乘法。当然，在实际运用中，我们还是希望用它 干点有意义的事情。学过抽象代数的都知道，基于几条最简单的规则，比如结合律，就能导出非常多的重要结论——这些结论可以应用到一切满足这些简单规则的地 方——这是代数的威力所在，我们不再需要为每一个具体领域重新建立这么多的定理。

抽象代数有在一些基础定理的基础上，进一步的研究往往分为两个流派：研究有限 的离散代数结构（比如有限群和有限域），这部分内容通常用于数论，编码，和整数方程这些地方；另外一个流派是研究连续的代数结构，通常和拓扑与分析联系在 一起（比如拓扑群，李群）。我在学习中的focus主要是后者。

线性代数：“线性”的基础地位

对于做Learning, vision, optimization或者statistics的人来说，接触最多的莫过于线性代数——这也是我们在大学低年级就开始学习的。线性代数，包括建立在它 基础上的各种学科，最核心的两个概念是向量空间和线性变换。线性变换在线性代数中的地位，和连续函数在分析中的地位，或者同态映射在群论中的地位是一样的 ——它是保持基础运算（加法和数乘）的映射。

在learning中有这样的一种倾向——鄙视线性算法，标榜非线性。也许在 很多场合下面，我们需要非线性来描述复杂的现实世界，但是无论什么时候，线性都是具有根本地位的。没有线性的基础，就不可能存在所谓的非线性推广。我们常 用的非线性化的方法包括流形和kernelization，这两者都需要在某个阶段回归线性。流形需要在每个局部建立和线性空间的映射，通过把许多局部线 性空间连接起来形成非线性；而kernerlization则是通过置换内积结构把原线性空间“非线性”地映射到另外一个线性空间，再进行线性空间中所能 进行的操作。而在分析领域，线性的运算更是无处不在，微分，积分，傅立叶变换，拉普拉斯变换，还有统计中的均值，通通都是线性的。

泛函分析：从有限维向无限维迈进

在大学中学习的线性代数，它的简单主要因为它是在有限维空间进行的，因为有 限，我们无须借助于太多的分析手段。但是，有限维空间并不能有效地表达我们的世界——最重要的，函数构成了线性空间，可是它是无限维的。对函数进行的最重 要的运算都在无限维空间进行，比如傅立叶变换和小波分析。这表明了，为了研究函数（或者说连续信号），我们需要打破有限维空间的束缚，走入无限维的函数空 间——这里面的第一步，就是泛函分析。

泛函分析(Functional Analysis)是研究的是一般的线性空间，包括有限维和无限维，但是很多东西在有限维下显得很trivial，真正的困难往往在无限维的时候出现。在 泛函分析中，空间中的元素还是叫向量，但是线性变换通常会叫作“算子”(operator)。除了加法和数乘，这里进一步加入了一些运算，比如加入范数去 表达“向量的长度”或者“元素的距离”，这样的空间叫做“赋范线性空间”(normed space)，再进一步的，可以加入内积运算，这样的空间叫“内积空间”(Inner product space)。

大家发现，当进入无限维的时间时，很多老的观念不再适用了，一切都需要重新审视。

1. 所有的有限维空间都是完备的（柯西序列收敛），很多无限维空间却是不完备的（比如闭区间上的连续函数）。在这里，完备的空间有特殊的名称：完备的赋范空间叫巴拿赫空间(Banach space)，完备的内积空间叫希尔伯特空间(Hilbert space)。
2. 在有限维空间中空间和它的对偶空间的是完全同构的，而在无限维空间中，它们存在微妙的差别。
3. 在有限维空间中，所有线性变换（矩阵）都是有界变换，而在无限维，很多算子是无界的(unbounded)，最重要的一个例子是给函数求导。
4. 在有限维空间中，一切有界闭集都是紧的，比如单位球。而在所有的无限维空间中，单位球都不是紧的——也就是说，可以在单位球内撒入无限个点，而不出现一个极限点。
5. 在有限维空间中，线性变换（矩阵）的谱相当于全部的特征值，在无限维空间 中，算子的谱的结构比这个复杂得多，除了特征值组成的点谱(point spectrum)，还有approximate point spectrum和residual spectrum。虽然复杂，但是，也更为有趣。由此形成了一个相当丰富的分支——算子谱论(Spectrum theory)。
6. 在有限维空间中，任何一点对任何一个子空间总存在投影，而在无限维空间中， 这就不一定了，具有这种良好特性的子空间有个专门的名称切比雪夫空间(Chebyshev space)。这个概念是现代逼近理论的基础(approximation theory)。函数空间的逼近理论在Learning中应该有着非常重要的作用，但是现在看到的运用现代逼近理论的文章并不多。

继续往前：巴拿赫代数，调和分析，和李代数

基本的泛函分析继续往前走，有两个重要的方向。第一个是巴拿赫代数 (Banach Algebra)，它就是在巴拿赫空间（完备的内积空间）的基础上引入乘法（这不同于数乘）。比如矩阵——它除了加法和数乘，还能做乘法——这就构成了一 个巴拿赫代数。除此以外，值域完备的有界算子，平方可积函数，都能构成巴拿赫代数。巴拿赫代数是泛函分析的抽象，很多对于有界算子导出的结论，还有算子谱 论中的许多定理，它们不仅仅对算子适用，它们其实可以从一般的巴拿赫代数中得到，并且应用在算子以外的地方。巴拿赫代数让你站在更高的高度看待泛函分析中 的结论，但是，我对它在实际问题中能比泛函分析能多带来什么东西还有待思考。

最能把泛函分析和实际问题在一起的另一个重要方向是调和分析 (Harmonic Analysis)。我在这里列举它的两个个子领域，傅立叶分析和小波分析，我想这已经能说明它的实际价值。它研究的最核心的问题就是怎么用基函数去逼近 和构造一个函数。它研究的是函数空间的问题，不可避免的必须以泛函分析为基础。除了傅立叶和小波，调和分析还研究一些很有用的函数空间，比如Hardy space，Sobolev space，这些空间有很多很好的性质，在工程中和物理学中都有很重要的应用。对于vision来说，调和分析在信号的表达，图像的构造，都是非常有用的 工具。

当分析和线性代数走在一起，产生了泛函分析和调和分析；当分析和群论走在一 起，我们就有了李群(Lie Group)和李代数(Lie Algebra)。它们给连续群上的元素赋予了代数结构。我一直认为这是一门非常漂亮的数学：在一个体系中，拓扑，微分和代数走到了一起。在一定条件下， 通过李群和李代数的联系，它让几何变换的结合变成了线性运算，让子群化为线性子空间，这样就为Learning中许多重要的模型和算法的引入到对几何运动 的建模创造了必要的条件。因此，我们相信李群和李代数对于vision有着重要意义，只不过学习它的道路可能会很艰辛，在它之前需要学习很多别的数学。

现代概率论：在现代分析基础上再生

最后，再简单说说很多Learning的研究者特别关心的数学分支：概率论。 自从Kolmogorov在上世纪30年代把测度引入概率论以来，测度理论就成为现代概率论的基础。在这里，概率定义为测度，随机变量定义为可测函数，条 件随机变量定义为可测函数在某个函数空间的投影，均值则是可测函数对于概率测度的积分。值得注意的是，很多的现代观点，开始以泛函分析的思路看待概率论的 基础概念，随机变量构成了一个向量空间，而带符号概率测度则构成了它的对偶空间，其中一方施加于对方就形成均值。角度虽然不一样，不过这两种方式殊途同 归，形成的基础是等价的。

在现代概率论的基础上，许多传统的分支得到了极大丰富，最有代表性的包括鞅论 (Martingale)——由研究赌博引发的理论，现在主要用于金融（这里可以看出赌博和金融的理论联系，:-P），布朗运动(Brownian Motion)——连续随机过程的基础，以及在此基础上建立的随机分析(Stochastic Calculus)，包括随机积分（对随机过程的路径进行积分，其中比较有代表性的叫伊藤积分(Ito Integral)），和随机微分方程。对于连续几何运用建立概率模型以及对分布的变换的研究离不开这些方面的知识。

类似的文章

• 2009年10月11日 -- 八卦一下世界七大数学难题 (1)

        “千年难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题，计算机理论的最核心问题！千年难题之首。
　　在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数１３，７１７，４２１可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因式分解为３６０７乘上３８０３，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克于１９７１年陈述的。

　　“千年难题”之二：霍奇(Hodge)猜想
　　二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。
　　“千年难题”之三：庞加莱(Poincare)猜想
　　如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
　　在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在arXiv.org发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。
　　在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密西根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。
　　2006年8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。
　　“千年难题”之四：黎曼(Riemann)假设
　　有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2、3、5、7……等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
　　“千年难题”之五：杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口
　　量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
　　“千年难题”之六：纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性
　　起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。
　　“千年难题”之七：贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想
　　数学家总是被诸如x2+y2=z2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。

数学也是个很有意思的王国。

看似简单却无法解决的问题是最有魅力的！

类似的文章

• 2010年05月18日 -- [推荐]MIT牛人解说数学体系 (3)
• 2009年08月20日 -- 追MM各种算法 (1)

来自【宇宙的心弦】

未来的某一天，科技高度发达，火车行进速度飞快，足以产生明显的相对论效应，人们也都精通相对论知识。一天，两个盗贼得知有一列载满富翁的火车将通过他们的地盘：一个中间有隧道的山坡，火车将从隧道穿过。已知隧道的长度恰好和火车静止时的长度相等。两个盗贼这样盘算：根据动尺缩短效应，我以我自己为参考系，火车将相对于我高度运动，长度将变短，因此我们可以两个人分别站在隧道的一段，等到火车车身完全在隧道内的时候，两人同时用一块石头堵住隧道两端，把火车封在里面，这样就可以下去抢财物了。富翁们不知从那里得知了倒贼要行动的消息，哈哈大笑，想到：他们不可能成功，根据动尺缩短效应，我以我在的火车为参考系，是山和隧道在高速运动，缩短的应该是隧道，因此我们的火车不可能在某个时刻完全处于隧道内而被封在里面。

看来，他们两方说的都有道理，那么问题是：火车究竟能不能被封在隧道内呢？

随机显示文章

• 2009年12月19日 -- Twitter好推推荐 (0)
• 2009年05月24日 -- load average概念理解 (0)
• 2009年10月11日 -- 博客被点击四万多次了 (0)

也许根本就没有人考虑这个问题，但总会有一些人会思索，我们生活中的一切到底是为什么，人为什么会存在？如果你对于世界有一番追问的话，那些我们习以为常的观点就有可能认为是错误的。
对于这个问题，我所知得还很浅，这是从一部纪录片的启发，以及自己的思考，得出的一些大概观点，供参考。
1.大家都知道量子物理是科学理论的一大革命，那么这一革命到底给我们带来了什么样的巨大意义？一位物理学家说，量子物理本质上是关于可能性的学说。这一句话可谓是一举道破本质。

关于一切皆空 佛家说一切皆空，老子说道生万物，道不可说，黑格尔说有来自于无，基督教说万物来自于上帝的力量，大爆炸理论说宇宙起始于一点，也就是生于虚空中，这么多伟人、理论的共同之处很显然都强调有来自于无。现代粒子物理表明，万物都是由原子构成的，而原子中的大部分物质都是空洞洞的，只有其中非常小的原子核是坚硬的，而进一步研究又表明，原子核的大部分也是虚空。原来组成我们万物的基本粒子大都是虚空的，原来我们所有的存在都是虚无。存在难道就等于虚无吗？
关于可能性 粒子的波粒二象性又表明，粒子其实并不是粒子，粒子实际上不过是粒子波。我们的空间并不存在什么物质，有的只是各种波。物质不过是各种波在某处叠加而成的。测不准原理表明，我们不能铺获到电子的运动轨迹，电子以波的形式存在空间中任意一个位置，但我们只要试图去观察，那么波就不再是波而成为了粒子-电子。我们不能确定电子的位置，而只是得出电子在各种位置的可能性即概率。某种物质的存在不过是各种物质波在某处的恰巧叠加，是这种可能性成为了现实，但这种叠加波必然会随着波的运动发生转移，因为没有永恒的东西，一切都在变，所有的物质都必将归于消亡，于是另外的物质重新一个新的轮回。我们人不也是如此吗？我们从亿万中一个精子和卵子的偶然碰撞而形成了最初的自己，就如同化学中的晶核会长大一样，我们不也是从这个受精卵开始逐渐吸收各种物质在长大成人的吗？我们每时每刻都不是原来的自己，我们每时每刻都在变化。不仅如此，我们在变化，由于“我”的存在，我产生的行为就像波的涟漪一样影响着我们周围的世界。人的创造力越强，他所创造的世界影响的人也就越多。我们在改变世界的同时，实际上我们也在塑造着我们自己的世界。每一个人所感受到的世界都不是一样的，根本就没有一个客观存在的世界。在一个到处都充满可能性、原初的、统一的世界中，由于我的存在，我创造了一个属于我的世界。这个世界与我同在，也与我共同消亡。
2.人为什么在万物中显得特别？那是因为人有思想。其他生物都只是被动地受环境的影响，而人却可以主动地去改变环境，去创造。就像哲学中一个最古老的问题，人在某一天突然会想到：为什么我竟然会存在，我到底是谁？这个问题是如此深刻和重大，它构成了人一切活动的基础。如果一日不解决这个问题，人就会感到仿佛生活在虚空之中，没有坚实的基础可以让自己的心灵得到慰藉。千百年来由这么多人来寻求探索，所有这些努力都将涌向那终极的答案。
3.我们为什么会有意识，意识到底是精神还是物质？从生理学上来看，我们每一个人的行为都是由自己的“情绪”所控制，这是不是意味着我们每个人在本质上都是非理性的，那么我们可以控制自己的行为吗？有没有一个所谓的“自我”存在？我们的意识只不过是我们神经元细胞之间的轴突连接，这种连接本来是任意的，但因为我们的生活，有些连接加强，有些连接逐渐消弱甚至永远地中断，于是我们神经元细胞的连接就逐渐定型，这就形成了每个人的个性。而这种个性一旦形成，我们的行为又受这些个性所决定。看来性格决定命运还真不假！我们的个性是如何控制我们的行为呢，是通过“情绪”。我们所有的情绪包括爱、恨、憎恶、同情等都是由于身体分泌固定的化学成分刺激我们的细胞而产生。我们每个人都会有习惯的情绪，这些情绪决定了我们行为，这也就成为了性格，因为我们的细胞已经习惯于对某种化学成分产生兴奋感。这就是为什么人会“上瘾”，对某种情绪特别有癖好，其实海洛因的原理和这完全相同。在这里对于人来说，似乎“性”的欲望对于人有超乎寻常的吸引，性激素也即力比多会让身体更加亢奋，难怪人一朝尝试性行为就欲罢不能。但可要注意一点，人体细胞如果频繁地接触某种情绪，细胞也会感到厌烦甚至懒惰，这时需要更多的刺激才能激起原先的感受，就比如海洛因吃的越久量就的越大。所有这些化学成分都是由蛋白质工厂来制造的哦，这些成分也就是氨基酸。爱情寄托了人多少美好的愿望，爱弄得多少人为之死去活来，但爱实际上也不过是某种化学成分刺激的结果。如果某个人不再爱你了，那不是因为他变心了，只是他身体细胞对这些化学成分厌烦了。人为什么会死亡，很简单是因为细胞老化，那细胞为什么会老化，那是因为细胞接受的营养少了，那为什么接受的营养少了，那是因为细胞只喜欢接受某种固定的物质，而对其他物质产生了排斥。这种固定的物质就是上面的“情绪”和“上瘾”。有些情绪对于细胞刺激很大，比如愤怒、性欲、憎恨等。如果人只有一种情绪甚至坏的情绪，不会调节自己，那么只会加速人的衰老。

一切都只是选择，人创造了自己的世界也创造了自我。人在某种程度上是有一定的自由。万物皆备于我，世界无非是我心灵的创造。我在创造世界的时候也丰富了自己的心灵，丰富了自己的感受，丰富了自己的情绪，也就塑造了完整的自我。什么是真正的存在，真正的存在无非不过是自己的意识和思想，其他一切都是过眼烟云。佛教的涅磐境界，基督教至高的上帝，当我们真正走进我们的心灵时，我们会发现一个前所未有的世界，他超越了现实中的一切苦恼，他超越了彼岸和此岸，他超越了生与死的界限，最终领悟到我们和世界共在，我们最终发现了那个原初的、孕育万物的世界或者可以叫虚无。

随机显示文章

• 2009年11月1日 -- [转]优秀程序员的十个习惯 (0)
• 2009年12月15日 -- 今天看了一条推，久久不能平静 (0)
• 2009年10月23日 -- [转]MySQL工具系列 – mysqlcheck：表维护和维修程序 (0)

天文学家们一直以来都在致力于发现外星微生物存在的证据，在火星上、木卫二上……太阳系内一切有条件的地方都是他们寻找的对象。但最近几年最激动人心的外星生命探索的进展却是在地球上完成的。外星生物学家来到地球最恶劣、最极端的地方，在智利最干燥的阿塔卡马沙漠中、在环境最恶劣的岩洞里、在南极洲的千年冰架下面、在几千米的深海下面、在几万米的高空上，他们发现了形形色色的与世隔绝的细菌，它们生命力之顽强令科学家惊叹不已。在南极的古老冻岩中，有一种细菌舒舒服服地躲在石头表面下多孔的空间里，活得跟花店橱窗里的牵牛花一样旺盛；法国科学家曾在太平洋底3000米处，水温高达250℃的热泉口，发现多种细菌；1969年降落月球的“阿波罗12号”太空船，收回了两年半前无人探测船“观察家三号”留在月球上的相机，竟然发现其底部有地球上的微生物“缓症链球菌”，这种来自地球的微生物，在几近真空、充满宇宙射线的月球表面生存了两年半！

许多种类的细菌无需空气，它们或是通过分解(而不是氧化)有机食物，或是从硫酸盐或硝酸盐等氧化合物而不是从空气中获得氧；有的细菌通过转换铁化合物和硫来保持生命的延续，生存下来；有的细菌在沸水中滋生；有的细菌则在0℃以下的盐水中生存；有的细菌在不可思议的高压下存活。看上去，多数细菌的生命是永无止境的，某些细菌的孢子可以休眠几千年。

它们生命的潜能与地球上其他生命的潜能完全或者几乎不同。正是这一不同，向我们暗示着生命的另一种可能，或许是生命在宇宙间其他星球上的另一种可能。

生命的无数种可能

既然地球细菌展现了如此丰富的生命形态，那么宇宙中的生命该有多少种可能性呢？地球上的生命都是由核酸和蛋白质组成的，但这是否是生命存在的惟一形式？可以有基于别的化学基础而发展起来的其他生命吗？

这个问题无疑是对生物学家的一项重大挑战。因为地球上的“蛋白质生命”是以碳元素为基础的，一些科学家于是翻开元素周期表，看看哪一种元素的性质与碳最为相似———当然是同一族中的硅。硅基生命甚至可以不摄取有机物，而只从宇宙空间中吸收星光维持生命，他的身体是由多数光线粒子和少数物质粒子组成，物质粒子在必要时也可以转化成光线粒子。可以设想，既然我们这些以碳为基础的生物呼出的废气是二氧化碳，那么，火星上那些以硅为基础的生物，呼出的自应是硅和氧的化合物———二氧化硅。二氧化硅其实就是我们平时在沙滩上所见的沙，也就是说，这些火星生物在呼吸时所喷出的是沙粒！

还有一些科幻作家留意到，元素周期表中的硫与同一族的氧在性质上有不少相似之处。那是否表示，在一些较高温的星球上(硫在地球上的室温时是固体)，生物呼吸所需的氧气可以被硫所代替？

此外，水是一切蛋白质生命所必需的溶液和介质。有没有一种其他化合物可以取代水的地位呢？有！那就是氨。由于氨在冰点以下仍是液体，一些科幻作家遂推想，在一些寒冷的巨型气态行星的表面下，可能存在着由氨组成的海洋，而海洋中则充满着以氨为介质的生命形式。

以上都只是个别的、零星的构想，真正对问题作出全面性的考察和系统性的分析的，是著名生化学家阿西莫夫所写的一篇文章《并非我们所认识的》。他在文中提出了六种生命形态：

一、以氟化硅酮为介质的氟化硅酮生物；

二、以硫为介质的氟化硫生物；

三、以水为介质的核酸/蛋白质(以氧为基础的)生物；

四、以氨为介质的核酸/蛋白质(以氮为基础的)生物；

五、以甲烷为介质的类脂化合物生物；

六、以氢为介质的类脂化合物生物。

其中第三项便是我们所熟悉的———亦是我们惟一所认识的———生命。至于第一、第二项，是一些高温星球上可能存在的生命形式，另外，地球上曾经出现过的那些生活在硫矿里的、厌氧的古细菌就很有可能是以硫作为自己生命的介质；而第四项至第六项，则是一些寒冷星球上可能存在的生物形态。

宇宙中的生命可能有着不同的化学基础，使我们认识到，生命对环境的适应能力各有不同———所谓“甲之熊掌，乙之砒霜”，我们认为舒适宜人的星球，对一些生物来说可能是酷热难耐，而对另一些则可能是寒冷难当。

更不可思议的设想

然而，科幻作家仍不满足于生命的这些多样性，他们在各自的作品中充分发挥了想像力，为我们创造出一些更不可思议、但细想之下又似乎不无道理的生命世界。一些作家设想，在某些极寒冷的星球之上，可能存在着以液体氦为基础，并以超导电流作联系的生命形式；另一些作家则认为，即使在寒冷而黑暗的太空深处，亦可能有一些由星际气体和尘埃组成，并由无线电波传递神经讯号的高等智能生物——霍耳的科幻小说正是这方面的代表作；还有一些想像力更丰富的作家甚至认为外星生命也许根本不需要化学物质基础，他们可能只是一些纯能量的生命形式，比如一束电波。

最为有趣的是著名科幻作家福沃德所写的《龙蛋》，这部构思出色的作品描述了一颗中子星表面的生物。这颗中子星直径仅20公里，但表面的引力却等于地球上的670亿倍，磁场是地球的1万亿倍，表面温度达到8000多摄氏度。什么生物可以在这样的环境下生存呢？是由“简并核物质”组成的生物。所谓“简并”，就是指原子外部的电子都被挤压到原子核里去，因此所有原子都可以十分紧密地靠在一起，形成超密物质。中子星上的生物身高约半毫米，直径约半厘米，体重却有70公斤，这是因为他们由简并物质所组成。此外，他们的新陈代谢是基于核反应而非化学反应，因此一切变化(包括生老病死和思维)的速率都比人类快100万倍！

让我们来看一看一个医学院毕业生在毕业典礼上所作的有趣的讲演：在我们星系的另一边的什么地方，有一个遥远的行星，离一个其等级和温度都正合适的恒星恰好不远不近。此时此刻，那上面有一个委员会正在开会，研究着我们这个小小的偏远的太阳系。会议进行了一年之久，现已接近尾声了。那地方的智慧生物们正在一份文件上签名(当然是用某种数字)，文件断言，说在我们这地方，生命的事是不可思议的，而这地方也不值得来一趟远征。他们的种种仪器已经发现，这儿存在最最致命的气体、就是氧气，这样一来，什么戏都没了。

这并非纯粹的胡思乱想，厌氧生物在地球上就存在。对它们来说，氧气不但不是必不可少的，反而是致命的“毒物”。对地球人类来说最重要的氧气尚且如此，我们还有什么理由认为，只有与地球环境相当的星球才能产生生命呢？

今天，人类对外星生命的搜索虽然还是两手空空，一无所得，但我们仍应坚持不懈地探寻下去，至少，它大大拓展了我们对宇宙生物原理的认识。

类似的文章

• 2009年12月15日 -- 今天看了一条推，久久不能平静 (0)